Taylorov polynom je polynomické priblíženie funkcien krát odvoditeľné v konkrétnom bode.
Inými slovami, Taylorov polynom je konečný súčet lokálnych derivátov vyhodnotených v konkrétnom bode.
Matematicky
Definujeme:
f (x): funkcia X.
f (x0): funkciaXv konkrétnom bode x0. Formálne sa píše:
F(n)(X):n-tá derivácia funkcie f (x).
Aplikácie
Taylorova expanzia sa všeobecne uplatňuje na finančné aktíva a produkty, ktorých cena je vyjadrená ako nelineárna funkcia. Napríklad cena krátkodobého dlhového cenného papiera je nelineárna funkcia, ktorá závisí od úrokových sadzieb. Ďalším príkladom by boli opcie, kde rizikové faktory aj ziskovosť sú nelineárne funkcie. Výpočet trvania väzby je Taylorov polynom prvého stupňa.
Taylorov polynomický príklad
Chceme nájsť druhý poriadok Taylorovej aproximácie funkcie f (x) v bode x0=1.
1. Vyrábame príslušné derivácie funkcie f (x).
V takom prípade sa nás pýtajú až do druhého rádu, takže urobíme prvý a druhý derivát funkcie f (x):
- Prvá derivácia:
- Druhá derivácia:
2. Dosadíme x0= 1 vo f (x), f '(x) a f' (x):
3. Keď máme hodnotu derivátov v bode x0= 1, dosadíme do Taylorovej aproximácie:
Polynom trochu fixujeme:
Kontrolujú sa hodnoty
Taylorova aproximácia bude primeraná, tým bližšie k x0 hodnoty. Aby sme to skontrolovali, dosadíme hodnoty blízke x0 v pôvodnej funkcii aj v Taylorovej aproximácii vyššie:
Keď x0=1
Pôvodná funkcia:
Taylorova aproximácia:
Keď x0=1,05
Pôvodná funkcia:
Taylorova aproximácia:
Keď x0=1,10
Pôvodná funkcia:
Taylorova aproximácia:
V prvom prípade, keď x0= 1, vidíme, že pôvodná funkcia aj Taylorova aproximácia nám dávajú rovnaký výsledok. Je to spôsobené zložením Taylorovho polynómu, ktorý sme vytvorili pomocou lokálnych derivácií. Tieto deriváty boli vyhodnotené v konkrétnom bode, x0= 1, aby sa získala hodnota a vytvoril polynóm. Takže čím ďalej od tohto konkrétneho bodu, x0= 1, tým menej vhodná bude aproximácia pre pôvodnú nelineárnu funkciu. V prípadoch, keď x0= 1,05 a x0= 1,10 existuje významný rozdiel medzi výsledkom pôvodnej funkcie a Taylorovou aproximáciou.
Ale … rozdiel je veľmi malý, nie?
Taylorove polynomické znázornenie
Ak predĺžime extrémy (kde sa aproximácia pohybuje od x0=1):
Na prvý pohľad sa to môže javiť ako nepodstatné, ale keď pracujeme na grafe a robíme aproximácie, je veľmi dôležité zohľadniť aspoň prvé štyri desatinné miesta. Základom aproximácií je presnosť.