Cramér-Rao bound (CCR) je minimálna odchýlka, ktorú za určitých podmienok pravidelnosti môže odhadovač jedného parametra dosiahnuť.
Inými slovami, hľadáme rozptyl, ktorý je najbližšie k tejto spodnej hranici, aby sme našli najlepší odhad podľa vlastností nestrannosti a efektívnosti.
Odporúča sa prečítať si vlastnosti odhadov
Tieto vlastnosti sa používajú, keď musíme zvoliť odhadovač, aby sme mohli vykonať ekonometrickú analýzu. Ak chceme, aby naše výsledky boli minimálne, budeme musieť vyžadovať, aby bol odhadca nestranný a aby mal najmenšiu možnú odchýlku zo všetkých objektívnych odhadov (účinnosť).
Aj keď berieme do úvahy všetky nezaujaté odhady, pri hľadaní odhadu minimálnej odchýlky sa môže stať, že existuje ďalší nezaujatý odhad, ktorý má menšie odchýlky.
Aby nám neutiekol žiadny nezaujatý odhadca s minimálnou odchýlkou, stanovíme minimálnu alebo dolnú hranicu, ktorú nemôže rozptyl nezaujatého odhadcu parametra prekročiť.
Pozeráme sa iba na nezaujaté odhady, pretože zaujaté odhady môžu mať menšie odchýlky ako CCR.
Formulácia
Definujeme:
f (X; Θ): funkcia hustoty pravdepodobnosti.
E (·): matematická nádej.
Ja (Θ): Fisherova informácia o parametri.
Predstavuje „množstvo informácií“ o hodnote parametra obsiahnutých v pozorovaní náhodnej premennej X.
Vzorec:
Nepanikár! Čo môžeme z tohto vzorca vidieť na prvý pohľad?
- Vidíme, že namiesto nerovnosti (=) ide o neprísnu nerovnosť (≥). Je to tak preto, lebo v niektorých prípadoch nenájdeme (neexistuje) nezaujatý odhad, ktorý dosiahne hranicu CCR. Preto hovoríme, že hľadáme rozptyl nezaujatého odhadcu, ktorý je čo najbližšie k tejto spodnej hranici. CCR nám navyše hovorí, aká bude minimálna odchýlka odhadcu, pod týmto číslom sa nedá nájsť.
- Časť vpravo (var (Θ ‘)) je rozptyl odhadu nášho parametra.
- Časť vľavo (1 / J (Θ)) je neprekonateľné minimum odchýlky.
- Ak hľadáme (absolútne) minimum pre rozptyl odhadcu Θ, je logické, že sa objavia parciálne derivácie (derivácia vzhľadom na Θ).
- V ekonómii sa parciálne derivácie používajú v podmienkach prvého a druhého rádu na optimalizáciu úžitkových funkcií: nájdite relatívne a absolútne maximá a minimá.
- CCR používa prvú parciálnu deriváciu parametra Θ na funkciu hustoty pravdepodobnosti f (X; Θ)
- Pre ľahký výpočet sa v niektorých prípadoch na získanie CCR použije druhá derivovaná a alternatívna Fisherova informácia.
Odhady, ktoré sú nestranné a majú odchýlku rovnú CCR, sa potom budú považovať za najefektívnejšie. Podobne budú tí nezaujatí, ktorých rozptyl je bližší, považovaní za relatívne efektívnejších ako ostatní odhadcovia (ďalej od seba).