Matematický model je model, ktorý pomocou matematických vzorcov predstavuje vzťah medzi rôznymi premennými, parametrami a obmedzeniami.
Matematický model je zjednodušené znázornenie javu alebo vzťahu medzi dvoma alebo viacerými premennými prostredníctvom matematických rovníc, funkcií alebo vzorcov. Odvetvie matematiky zodpovedné za štúdium kvalít a štruktúry modelov je takzvaná „teória modelov“.
Na čo slúži matematický model?
Matematické modely sa používajú na analýzu vzťahu medzi dvoma alebo viacerými premennými. Môžu byť použité na pochopenie prírodných, sociálnych, fyzikálnych javov atď. V závislosti od sledovaného cieľa a koncepcie rovnakého modelu je možné ich okrem iných cieľov použiť na predikciu hodnoty premenných v budúcnosti, na vytvorenie hypotéz, vyhodnotenie účinkov určitej politiky alebo činnosti.
Aj keď sa to zdá byť teoretickým konceptom, v skutočnosti existuje veľa aspektov každodenného života, ktoré sa riadia matematickými modelmi. Stáva sa, že nejde o matematické modely zamerané na teoretizovanie. Ide skôr o matematické modely formulované tak, aby niečo fungovalo. Napríklad auto.
Základné prvky matematického modelu
Zložitosť matematických modelov sa môže líšiť, ale všetky majú súbor základných charakteristík:
- Premenné: Sú to pojmy alebo predmety, ktorým sa človek snaží porozumieť alebo analyzovať. Najmä pokiaľ ide o jeho vzťah k iným premenným. Teda napríklad premennou môže byť plat pracovníkov a to, čo chceme analyzovať, sú ich hlavné determinanty (napríklad: roky štúdia, vzdelanie rodičov, miesto narodenia atď.).
- Parametre: Toto sú známe alebo kontrolovateľné hodnoty modelu.
- Obmedzenia: Sú to určité limity, ktoré naznačujú, že výsledky analýzy sú primerané. Napríklad ak je jednou z premenných počet detí v rodine, prirodzeným obmedzením je, že táto hodnota nemôže byť záporná.
- Vzťahy medzi premennými: Model ustanovuje určitý vzťah medzi premennými na základe ekonomických, fyzikálnych, chemických teórií atď.
- Zjednodušené znázornenie: Jednou zo základných charakteristík matematického modelu je znázornenie vzťahov medzi študovanými premennými prostredníctvom prvkov matematiky, ako sú: funkcie, rovnice, vzorce atď.
Požadované vlastnosti matematického modelu
Pri navrhovaní matematického modelu sa predpokladá, že má súbor vlastností, ktoré pomáhajú zabezpečiť jeho robustnosť a efektívnosť. Medzi tieto vlastnosti patria:
- Jednoduchosť: Jedným z hlavných cieľov matematického modelu je zjednodušiť realitu, aby ste jej lepšie porozumeli.
- Objektívnosť: Že nemá predsudky ani teoretické, ani predsudky alebo nápady svojich návrhárov.
- Citlivosť: Je schopný odrážať účinky malých variácií.
- Stabilita: Že matematický model nie je významne zmenený, ak dôjde k malým zmenám v premenných.
- Univerzálnosť: Že je to použiteľné vo viacerých kontextoch, nielen v konkrétnom prípade.
Je zrejmé, že ich je oveľa viac, ale vyššie uvedené sú najintuitívnejšie.
Procesy na vytvorenie matematického modelu
Všeobecne možno povedať, že proces vývoja matematického modelu je nasledovný:
- Nájdite jav alebo problém.
- Vytvorte model s prvkami matematiky predstavujúcimi vybraný problém a identifikujte príslušné premenné (závislé a nezávislé).
- Stanovte hypotézy a testovaciu metódu ich pravdivosti.
- Aplikujte matematické vedomosti na vyriešenie modelu a v prípade potreby urobte predpovede.
- Vykonajte porovnanie získaných údajov so skutočnými údajmi.
- Ak výsledky nespĺňajú očakávania, upravte matematický model.
Typy matematických modelov
Existujú rôzne typy matematických modelov. Tu uvádzame niektoré z najrelevantnejších typov modelov:
Podľa použitých informácií
- Heuristika: Na základe možných vysvetlení príčin pozorovaných javov.
- Empirická: Používa informácie zo skutočných experimentov.
Podľa typu zastúpenia
- Kvalitatívne alebo koncepčné: Odvolávajú sa na analýzu kvality alebo trendu javu bez výpočtu presnej hodnoty.
- Kvantitatívne alebo číselné: Získané výsledky majú konkrétnu hodnotu, ktorá má určitý význam (môže byť presná alebo relatívna).
Podľa náhodnosti
- Deterministický: Nemá žiadnu neistotu, hodnoty sú známe.
- Stochastické: Hodnota premenných nie je vždy presne známa. Existuje neistota, a teda pravdepodobné rozdelenie výsledkov.
Podľa vašej žiadosti alebo cieľa
- Simulácia alebo popis: Simuluje alebo popisuje jav. Výsledky sú zamerané na predpovedanie toho, čo sa stane v určitej situácii.
- Optimalizácia: Používajú sa na nájdenie optimálneho riešenia problému.
- Kontroly: Udržiavať kontrolu nad organizáciou alebo systémom a určovať premenné, ktoré je potrebné upraviť, aby sa dosiahli požadované výsledky.
